[Math] Lagrange Multipliers - metode optimasi buat orang males tapi maruk :p

Malem semua...

Malem ini saya lagi
sinting dipenuhi sama suatu metode optimasi yang namanya Lagrange. Well, benernya saya udah kenalan sama si Lagrange ini dari awal tahun sih. Cuma karena udah lamaaaaa banget ga pernah ngontak si Lagrange, jadinya malem ini perlu nge-refresh lagi soalnya saya perlu kerja bareng Lagrange sekarang. #apasih

Oke, jadi apa itu Lagrange Multiplier?
Benernya metode lagrange multiplier ini di desain untuk memfasilitasi orang malas yang pengennya less effort tapi hasil maksimal. Jadi Lagrange ini akan memberikan hasil titik ter-ekstrem (paling minimal ato paling maksimal) dari suatu kondisi tertentu.

Jadi inti algoritma lagrange ini dia akan menghitung turunan pertama untuk setiap variabel yang ada dan "memaksa" agar tiap-tiap turunan itu agar menghasilkan nilai nol *cambuk-cambuk*.

Contohnya?
Misal nih, gw mau buka warteg dan lagi pusing nentuin menu yang enteng di kantong pembeli (dan memberikan untung sebesar-besarnya buat gw. XD) tapi juga variatif sehingga pembeli tertarik.

Gw sih pengennya dalam satu menu itu ada lauk dan sayur. Tapi modal gw per-satu menu nya cuman boleh maksimal 7eur. Soalnya kalo lebih dari itu, kemahalan buat kantong mahasiswa. Misalkan, setelah survey sana sini, memperhitungkan harga bahan pokok, bumbu-bumbu, dan nilai inflasi (#eh?), biaya produksi satu menu bisa direpresentasikan dalam sebuah fungsi matematis secara general, yaitu
C(x, y) = 3x^2 + 4y^2. [Oke, it doesn't sound make sense, but who cares? It's the simplest thing I can think of. :p]
Nah, modal gw untuk satu menu cuma ada 7eur, jadi kita punya constraint yang membatasi si fungsi supaya hanya bisa nerima values yang mengikuti
nilai-nilai Pancasila x+y = 7.

Kemudian, bagaimana cara menyelesaikannya?
Jreng! Inilah saatnya Lagrange beraksi!

Jadi, si Lagrange karena orangnya kekeluargaan banget, dia akan mengumpulkan fungsi biaya produksi dan constraint dalam satu wadah. Oh iya, karena constraint ini orangnya strict banget, jadi biar agak luwes Lagrange akan memberikannya hadiah berupa attribut lagrange multiplier, sebut saja attribut itu c, dan merepresentasikan si constraint dalam bentuk implisit biar ga kaku-kaku amat. Jadinya x+y-7 = 0. Thus, we have:

L[x,y,c] = 3x^2 + 4y^2 - c (x+y-7).

Trus gimana?
Laluuuuuuu..... Karena tiap-tiap variabel x, y, dan c ini punya bahasa yang beda-beda (soalnya mereka walo sama-sama Indonesia tapi beda suku). Jadi untuk mempermudah ngobrolnya, Lagrange ngajarin mereka berbahasa Indonesia sebagai bahasa pemersatu. Jadi masing-masing harus menurunkan egonya satu tingkat biar bisa langgeng dan legawa belajar bahasa baru. #apasih

Jadilah, kita hitung turunan pertama terhadap masing-masing variabel untuk fungsi di atas.

So we have:
Lx = 6x - c = 0
Ly = 8y -c = 0
Lc = -x-y+7 = 0

Aha! Lebih tampak setara kan? ga ada yang pangkatnya dobel-dobel lagi.

Trus dari Lx, kita bisa dapet x = c/6
dari Ly, kita dapet y=c/8

Trus dimasukin deh ke Lc sebagai moderator pemersatu:
Lc = -(c/6) - (c/8) + 7 = 0 --> c = 24

Jadi kita dapet nilai x = 4 dan y = 3.

Sip, jadilah untuk bikin satu menu murah meriah, kita bisa bikin dari lauk seharga 4eur dan sayur (dan side dishes laen) seharga 3eur.

Q.E.D.

Well, contoh yang saya kasih disini simpleeee banget... bahkan benernya nyelesein pake Lagrange itu kayak nembak laler pake bazooka... soalnya dia bisa diselesaikan dengan lebih gampang pake substitusi biasa. :p

Salah satu contoh seru lagrange adalah buat nyari titik terdekat buat ngambil air di sungai tapi dengan batasan kondisi setelah/sebelum ngambil air harus mampir ke kandang sapi dan ke kandang ayam yang lokasinya berjauhan, biasa dikenal dengan milkmaid problem. Contoh seru lainnya adalah...mencari probabilitas yang memungkinkan hasil untuk mendekati kesempurnaan kondisi. *seru tapi sambil nangis darah* *nangis di pojokan* *ngais-ngais tanah*

music: Locked Out of Heaven MASHUP! (ft. Megan Nicole, Sam Tsui and KurtHugoSchneider)